一、概述
我們在開展壽命數(shù)據(jù)分析工作時（故障數(shù)據(jù)分析、試驗數(shù)據(jù)分析、質(zhì)保數(shù)據(jù)分析等），經(jīng)常使用威布爾分布進行分析。但是，我們在使用威布爾分析時，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)威布爾分布的形狀參數(shù)β值有時候計算得到的值小于1，有時候等于1，有時候大于1，甚至β值非常大。此時，我們會有疑問，到底計算結(jié)果對不對呢？是否反映了產(chǎn)品的壽命特征呢？是不是數(shù)據(jù)處理或者數(shù)據(jù)本身存在問題呢？
二、關(guān)于威布爾分布及形狀參數(shù)β
首先，我們看一下威布爾分布和β值。威布爾分布是可靠性工作中非常常用的一種分布。威布爾分布是20世紀中期，由Waloddi Weibull提出的。由于這個分布擴展性非常好，使用非常廣泛。威布爾分布（2參數(shù)）的形狀參數(shù)β，能夠有效描述出所分析數(shù)據(jù)的特點。例如，形狀參數(shù)β值可以用來描述故障率隨著時間的變化。當β小于1時，表示故障率隨著時間而降低，即產(chǎn)品還處于一個早期磨合期，通常與早期失效或者由于本身缺陷導致的早期失效相關(guān)。當β等于1或者近似于1時，表示故障率不會隨著時間的變化而變化，故障的發(fā)生是偶然性的。即故障率基本恒定。當β大于1表示故障率隨著時間增加，通常故障都是與機械磨損、損耗等相關(guān)。
如上所述，由于威布爾分布擴展性非常好，能夠有效表示產(chǎn)品的壽命特征，很多企業(yè)都使用威布爾分布進行壽命數(shù)據(jù)分析。特別是用于機械產(chǎn)品的可靠性分析。但是，在進行數(shù)據(jù)分析時，我們會發(fā)現(xiàn)有些產(chǎn)品的壽命數(shù)據(jù)分析結(jié)果中，β參數(shù)非常大。此時，我們可能會懷疑是否分析錯了？計算得到如此高的β值可能被誤認為是產(chǎn)品或者測試過程中某些地方存在問題。為了弄明白為什么形狀參數(shù)β會有較大差異，不同β值表示產(chǎn)品的可靠性特點有哪些，我們看一下2參數(shù)威布爾分布的概率密度函數(shù)（PDF）為：
可能直接從概率密度函數(shù)公式我們很難直接發(fā)現(xiàn)具體問題。我們看一下不同形狀參數(shù)β值和尺度參數(shù)（特征壽命）η值的PDF曲線形狀。
威布爾分布的概率密度函數(shù)圖形我們可以看出，尺度參數(shù)相同時，不同形狀參數(shù)β下的PDF曲線是明顯不同的。β值越大，那么PDF曲線形狀偏窄，即各樣本的失效數(shù)據(jù)相對集中；反之，形狀參數(shù)β越小，pdf曲線跨度較大，即失效數(shù)據(jù)落在的區(qū)域較大。
掌握了威布爾分布的概率密度函數(shù)曲線特征，我們也大概了解了為什么有時候我們進行壽命數(shù)據(jù)分析時，有時候得到的β參數(shù)較大，有時候較小了。
從威布爾分布的概率密度函數(shù)曲線，我們可以知道：威布爾分布形狀參數(shù)β是表示數(shù)據(jù)變化特性的度量。β值大，表示數(shù)據(jù)變化性小。因此，如果β值較大，表明產(chǎn)品將在較小的時間范圍內(nèi)失效。只要這個集中出現(xiàn)的故障時間點，遠超過我們設定的目標值，此時，我們可以不必要太過于擔心。如果故障時間點集中出現(xiàn)的位置小于我們的目標值，那么就需要進一步分析了。也就是說，我們在壽命數(shù)據(jù)分析時，得到形狀參數(shù)β值較大不是問題，只要尺度參數(shù)（特征壽命）η的相應值足夠高，使得集中出現(xiàn)的故障時間點遠離我們的目標值，使得產(chǎn)品實現(xiàn)可接受的總體可靠性，那么形狀參數(shù)β大則不是問題。
三、對產(chǎn)品可靠性的影響
下面以一些案例說明威布爾分布的形狀參數(shù)，對于產(chǎn)品可靠性的影響
案例1：軸承壽命數(shù)據(jù)分析
為驗證某軸承的可靠性是否滿足設計要求（2000小時，95%置信度，R要求值0.9），開展了軸承可靠性試驗，得到該軸承的試驗數(shù)據(jù)之后，將這些輸入錄入到PosWeibull的壽命分析模塊進行分析。計算得到其形狀參數(shù)β為13.57.該β值相對較大。但是，我們看一下試驗數(shù)據(jù)，故障時間基本集中在2000-2500小時，查看其概率密度函數(shù)PDF曲線，顯示故障數(shù)據(jù)相對集中。計算該軸承95%置信度下的可靠度為0.922，滿足設計要求。中位壽命值為2343。綜合上述計算結(jié)果，我們可以通過試驗數(shù)據(jù)判斷該產(chǎn)品可靠性滿足設計要求。
但是，當我們看到分析得到的β值較大時，我們還是要注意：
（1）β值較大，說明這些產(chǎn)品的故障發(fā)生時間較為集中，即產(chǎn)品到達這個時間后磨損會急劇下降。大量產(chǎn)品都會在這個時間段內(nèi)發(fā)生故障；
（2）對于可修復系統(tǒng)，具有高β值的產(chǎn)品實際上更利于維修規(guī)劃。因為這些產(chǎn)品的故障時間相對集中，可以提高預防性維護計劃的效率。這些故障數(shù)據(jù)的可變性小意味著故障以更“可控”的方式發(fā)生，因此可以量化預防性維護的最佳更換間隔。例如，對于預防性維護計劃來說，理想的做法是讓一個產(chǎn)品在2000小時的運行后才集中出現(xiàn)故障。因此，我們可以將最佳更換時間確定在預期故障之前，即1999小時前。
（3）一般情況下，建議根據(jù)企業(yè)內(nèi)部的產(chǎn)品故障數(shù)據(jù)分析經(jīng)驗，總結(jié)相應的β典型值，上下限值。后續(xù)可根據(jù)這些典型值進行故障數(shù)據(jù)分析。
(4)當β參數(shù)大于1時，我們通常會認為需要進行預防性維修了。即當β大于1時，產(chǎn)品具備磨損、耗損特征了。需要進行預防性維修進行潤滑、維修優(yōu)化等。
四、β值對于可靠性驗證試驗設計的影響
我們在進行可靠性試驗設計時，如果知道產(chǎn)品的壽命服從威布爾分布，我們可以借助威布爾分布的形狀參數(shù)β值，指導我們?nèi)绾芜M行可靠性試驗方案設計。關(guān)于β值、試驗時間、樣本數(shù)量之間的關(guān)系，以及如何進行試驗時間、樣本數(shù)量的優(yōu)化,我們可以通過下面的公式推導出來。
式中，CL是置信度，已知；t為試驗時間；η為尺度參數(shù)，我們可以通過威布爾分布的η參數(shù)計算公式得到η的表達式，代入上面方程。即可推導出,當n大于ln(1-CL)/ln(R)時，隨著β的增加，需要的試驗時間也增加；當n小于ln(1-CL)/ln(R)時,隨著β增加，試驗時間減少。由此，我們可以計算得到臨界點，根據(jù)這個臨界點，我們可以判斷β值如何影響試驗時間及樣本的，即我們可以根據(jù)產(chǎn)品的故障特征，進行可靠性試驗設計與優(yōu)化。關(guān)于如何進行可靠性試驗設計與優(yōu)化，可以使用PosWeibull的可靠性試驗設計功能的參數(shù)化二項式法進行設計，計算臨界點可以使用非參數(shù)化二項式法計算，具體見可靠性驗證試驗方案設計方法、案例
五、典型產(chǎn)品的β值
球軸承、滾動軸承、滑動軸承、傳動帶、液壓波紋管、螺栓、離合器、磁性離合器、聯(lián)軸器、聯(lián)軸節(jié)齒輪、液壓缸、金屬膜片 隔膜橡膠、液壓墊圈、油過濾器、齒輪、葉輪泵、機械接頭、支撐軸、往復式缸套、螺母、O型彈性環(huán)、往復式桿、插銷、樞軸、活塞式發(fā)動機、潤滑油泵、機械密封、離心泵軸、彈簧、振動支座、離心泵耐磨環(huán)、往復式壓縮機閥等多種機械零部件都有相應的典型β值供參考。若需要了解更多，可咨詢我們。